Cho Δ A B C vuông tại A ( A B < A C ) . a) Viết các tỉ số lượng giác của góc B .

7/8

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$.

a) Viết các tỉ số lượng giác của góc $B.$

b) Cho $AC = 16{\rm{\;cm}},\,\,BC = 20{\rm{\;cm}}.$ Giải tam giác $ABC$ (làm tròn số đo góc đến phút).

c) Kẻ đường cao $AH.$ Gọi $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB,$ $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AC.$ Chứng minh rằng $BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}},\,\,\cos B = \frac{{AB}}{{BC}},$

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}},\,\,\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}.$

$Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$. a) Viết các tỉ số lượng giác của góc $B.$ (ảnh 1)$

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {16^2} = 144.$ Do đó $AB = 12{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a, ta có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}.$ Từ đó suy ra $\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.$

Lại có: $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ $, suy ra $\widehat {C\,} = 90^\circ - \widehat {B\,} \approx 90^\circ - 53^\circ 8' \approx 36^\circ 52'.$

Vậy $AB = 12{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.$

c) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có: $\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}.$

Xét $\Delta MBH$ vuông tại $M,$ ta có: $\cos B = \frac{{BM}}{{BH}}.$

Ta có: ${\cos ^3}B = \cos B \cdot \cos B \cdot \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BH}}{{AB}} \cdot \frac{{BM}}{{BH}} = \frac{{BM}}{{BC}}.$

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \[{\cos ^3}C = \cos C \cdot \cos C \cdot \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{CH}}{{AC}} \cdot \frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CK}}{{BC}}.\]

Lại có $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ $ nên $\cos C = \sin B,$ suy ra \[{\sin ^3}B = \frac{{CK}}{{BC}}.\]

Do đó ${\cos ^3}B + {\sin ^3}B = \frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{CK}}{{BC}} = \frac{{BM + CK}}{{BC}}.$

Suy ra $BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).$