Cho Δ A B C , trung tuyến A M , đường phân giác của ˆ A M B cắt A B ở D , đường phân giác ˆ A M C cắt A C ở E . Gọi I là giao điểm của A M và D E . Biế

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai.

⦁ Vì \(MD\) là tia phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\). Do đó ý a) sai.

⦁ Vì \(ME\) là tia phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{MC}}{{MA}}.\)

Mà \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{CE}}{{AE}}\), theo định lí Thalès đảo ta có \(DE\parallel BC.\)

Suy ra \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM.\] Do đó ý b) đúng.

⦁ Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) lần lượt có \(DI\parallel BM\) và \(EI\parallel CM\).

Do đó, \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{EI}}{{CM}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).

Mà \(BM = CM\) suy ra \(DI = EI.\) Do đó ý c) đúng.

⦁ Ta có: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) mà \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MI}}{{AI}}\) (do \(DI\parallel BM\)) suy ra \(\frac{{MI}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).

Lại có \(\frac{{MA}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{DI}}\) (do \(DI\parallel BM\))

Do đó, \(\frac{{MB}}{{DI}} = \frac{{MI + IA}}{{AI}} = 1 + \frac{{MI}}{{AI}} = 1 + \frac{{MB}}{{AM}} = \frac{{AM + MB}}{{AM}}\).

Suy ra \(DI = \frac{{BM \cdot AM}}{{AM + BM}} = \frac{{15 \cdot 10}}{{10 + 15}} = \frac{{150}}{{25}} = 6\).

Suy ra \(ED = 2DI = 2.6 = 12\) (do \(DI = IE = \frac{1}{2}DE\)). Do đó ý d) sai.