Cho a ≠ b ≠ c thỏa mãn a2(b + c) = b2(c + a) = 2012. Tính M = c2(a + b).

Ta có a²(b + c) = b²(c + a)

(a²b – b²a) + (a²c – b²c) = 0

ab(a – b) + c(a – b)(a + b) = 0

(a – b)(ab + bc + ac) = 0

ab + bc + ac = 0 (vì a ≠ b).

Lại có a²(b + c) = b²(c + a)

⇔a2a+c=b2b+c=a2−b2a−b=a+b

⇒ a² = (a + c)(a + b)

Do đó 2012 = a²(b + c) = (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(ab + bc + ac + c²).

Vì ab + bc + ac = 0 nên c²(a + b) = 2012.

Vậy M = c²(a + b) = 2012.