Cho a,b,c thỏa mãn a/2014 = b/2015 = c/2016. Chứng minh rằng: 4 (a - b) (b - c) =(c - a)^2

Ta có \(\frac{a}{{2014}} = \frac{b}{{2015}} = \frac{c}{{2016}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{{2014}} = \frac{b}{{2015}} = \frac{c}{{2016}} = \frac{{a - b}}{{2014 - 2015}} = \frac{{b - c}}{{2015 - 2016}} = \frac{{c - a}}{{2016 - 2014}}\)

\( = \frac{{a - b}}{{ - 1}} = \frac{{b - c}}{{ - 1}} = \frac{{c - a}}{2}\).

Suy ra \(\frac{{2\left( {a - b} \right)}}{{ - 1}} = \frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{ - 1}} = \frac{{2\left( {c - a} \right)}}{2} = c - a\).

Do đó \(\frac{{2\left( {a - b} \right)}}{{ - 1}}\,\,.\,\,\frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{ - 1}} = \frac{{2\left( {c - a} \right)}}{2}\,\,.\,\,\left( {c - a} \right)\).

Hay \(4\left( {b - c} \right) = \left( {c - a} \right)\,\,.\,\,\left( {c - a} \right)\).

Vậy \(4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right) = {\left( {c - a} \right)^2}\) (đpcm).