Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x , y , z thỏa mãn: a ^ 2 x + b^ 2 y + c^ 2 z = 0 .Chứng minh rằng: x y + y z + z x ≤ 0 .

* Nếu trong ba số \[x,y,z\] có một số bằng 0, chẳng hạn \(x = 0\)\( \Rightarrow {b^2}y =  - {c^2}z\).

\( \Rightarrow xy + yz + zx = yz =  - \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}{z^2} \le 0\).

* Nếu \(x,y,z \ne 0\). Do \({a^2}x + {b^2}y + {c^2}z = 0\)\( \Rightarrow x =  - \frac{{{b^2}y + {c^2}z}}{{{a^2}}}\)

\( \Rightarrow xy + yz + zx \le 0\) \( \Leftrightarrow  - \left( {y + z} \right)\frac{{{b^2}y + {c^2}z}}{{{a^2}}} + yz \le 0\)

\( \Leftrightarrow {b^2}{y^2} + \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)yz + {c^2}{z^2} \ge 0\).

Xét tam thức bậc hai \(f\left( y \right) = {b^2}{y^2} + \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)yz + {c^2}{z^2}\) (do \(b\) là độ dài cạnh tam giác nên \(b \ne 0\)) có \({\Delta _y} = \left[ {{{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2} - 4{b^2}{c^2}} \right]{z^2}\).

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {b - c} \right| < a\\b + c > a\end{array} \right. \Rightarrow  - 2bc < {b^2} + {c^2} - {a^2} < 2bc\).

Do đó, \({\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} < 4{c^2}{b^2}\)\( \Rightarrow {\Delta _y} \le 0,{\rm{ }}\forall z \Rightarrow f\left( y \right) \ge 0{\rm{   }}\forall y,z\).