Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi

Ta có:

p−a+p−b+p−c2≤1.p−a+1.p−b+1.p−c2

Suy ra

p−a+p−b+p−c2≤12+12+12p−a+p−b+p−c⇔p−a+p−b+p−c2≤3p⇔p−a+p−b+p−c≤3p

Đẳng thức xảy ra khi p−a1=p−b1=p−c1 hay a=b=c

Ta tiếp tục chứng minh p<p−a+p−b+p−c

Ta có

p<p−a+p−b+p−c⇔p<p−a+p−b+p−c+2(p−a)(p−b)+2(p−b)(p−c)+2p−c(p−a)

⇔2(p−a)(p−b)+2(p−b)(p−c)+2p−c(p−a)>0 (luôn đúng)

Vậy p<p−a+p−b+p−c≤3p