Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng: ab/a+b-c +bc/b+c-a+ca/c+a-b lớn hơn bằng a+b+c

Đặt:  x=a+b−cy=b+c−az=c+a−b

⇒x+y=a+b−c+b+c−a=2by+z=b+c−a+c+a−b=2cx+z=a+b−c+c+a−b=2a

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

b+c>aa+c>ba+b>c⇒b+c−a>0a+c−b>0a+b−c>0⇒y>0z>0x>0

Khi đó  A=aba+b−c+bcb+c−a+cac+a−b

⇒4A=2a . 2ba+b−c+2b . 2cb+c−a+2c . 2ac+a−b

=x+zx+yx+x+yy+zy+y+zx+zz

=x2+xy+z+yzx+y2+yz+x+zxy+z2+zx+y+xyz

=xx+y+z+yzx+yx+y+z+zxy+zx+y+z+xyz

=3x+y+z+yzx+zxy+xyz

=3x+y+z+yz2xyz+zx2xyz+xy2xyz

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

yz2xyz+zx2xyz≥2yz2 . zx2xyz=2z . xyzxyz=2z

zx2xyz+xy2xyz≥2zx2 . xy2xyz=2x . xyzxyz=2x

xy2xyz+yz2xyz≥2xy2 . yz2xyz=2y . xyzxyz=2y

Suy ra  yz2xyz+zx2xyz+xy2xyz≥2z+2x+2y2=x+y+z

Khi đó:

4A=3x+y+z+yz2xyz+zx2xyz+xy2xyz≥3x+y+z+x+y+z

Þ 4A ≥ 4(x + y + z)

Þ A ≥ (x + y + z) = a + b + c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c.

Vậy  aba+b−c+bcb+c−a+cac+a−b≥a+b+c khi và chỉ khi a = b = c.