Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3 và c lớn hơn hoặc bằng a

Cách 1: Theo đề bài ab+bc+ca=3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3=ab+bc+ac≥3a2b2c23⇒abc≤1,(1)a+b+c2≥3ab+bc+ac=9⇒a+b+c≥3,(2)Từ 1 và 2 ⇒a+b+c≥3abc.Đặt x=1a+1;y=1b+1;z=1c+1⇒x,y,z>0; z≥x⇒P=x2+2y2+3z2=x2+z2+2y2+2z2≥2x2+y2+z2⇒P≥2x2+y2+z2≥2xy+yz+xz.(*)

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy+yz+xz .xy+yz+xz=1a+1b+1+1c+1b+1+1a+1c+1⇔xy+yz+xz=a+b+c+3a+1b+1c+1=a+b+c+3abc+a+b+c+4⇔xy+yz+xz=a+b+c+3abc+a+b+c+4=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12⇔xy+yz+xz=3a+b+c+33abc+3a+b+c+12≥3a+b+c+3a+b+c+3a+b+c+12=34⇒P≥2.34=32.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z⇒a=b=c=1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=32.

Cách 2: Vì Vì a≥c⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12

⇒P≥2a+12+2b+12+2c+12

Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm.

1x+12+1y+12≥11+xy

⇔1+xyx2+y2+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx2+y2−2xy+2xy+2x+2y+2−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+21+xyxy+x+y+1−xy+x+y+12≥0⇔1+xyx−y2+xy−x−y+1xy+x+y+1≥0⇔xyx−y2+x−y2+xy+12−x+y2≥0⇔xyx−y2+xy−12≥0.

Luôn đúng, dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

⇒P=1a+12+2b+12+3c+12≥1a+12+2b+12+2c+12+1a+12

⇒P≥1a+12+1b+12+1b+12+1c+12+1a+12≥11+ab+11+bc+11+ac.

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta có

x+y+z1x+1y+1z≥9⇒1x+1y+1z≥9x+y+z⇒P≥11+ab+11+bc+11+ac≥93+ab+bc+ac=96=32.

Vậy GTNN của P=32 khi a=b=c=1.