Cho a,b,c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc=1

Ta có: 12+a=abc2abc+a=bc2bc+1 (Do a>0)

Áp dung BĐT Cô si ta có:

2bc+1=bc+bc+1≥3bc23⇒bc2bc+1≤bc3bc23=bc33⇒12+a≤bc33

Chứng minh tương tự ta có: 12+b≤ca33;12+c≤ab33

Cộng vế theo vế ta được:

12+a+12+b+12+c≤13ab3+bc3+ca3=131a3+1b3+1c3

Ta có 1a3+1b3+1c3≤9a3+b3+c3≤93abc33=93=3⇒1a3+1b3+1c3≤3⇔31a3+1b3+1c3≤1

Vậy 12+a+12+b+12+c≤1⇔a=b=c=1