Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh

Ta có: \[\frac{1}{{2 + a}} + \frac{1}{{2 + b}} + \frac{1}{{2 + c}} \le 1\]

⇔(b+2)(c+2)+(a+2)(c+2)+(a+2)(b+2)≤(a+2)(b+2)(c+2)

⇔ab+bc+ca+4(a+b+c)+12≤abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8

⇔ab+bc+ca+4(a+b+c)+12≤1+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8

⇔ ab + bc + ca ≥ 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có:

\[ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} \ge 3\]

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.