Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn {a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc \Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}} = 3\)

Áp dung bất đẳng thức \(AM - GM\) ta có:

\(\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} +  \ge 2\sqrt {\frac{a}{{bc}} \cdot \frac{b}{{ca}}}  = \frac{2}{c}\)

\(\frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}} \ge 2\sqrt {\frac{b}{{ca}} \cdot \frac{c}{{ab}}}  = \frac{2}{a}\)

\(\frac{a}{{bc}} + \frac{c}{{ab}} \ge 2\sqrt {\frac{a}{{bc}} \cdot \frac{c}{{ab}}}  = \frac{2}{b}\)

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên, ta có:

\( \Rightarrow 2\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}}} \right) \ge 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 3\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có:

\(\begin{array}{l}3{a^2} + 2{b^2} + {c^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2}} \right) \ge 4ab + 2ac\\ \Rightarrow \frac{a}{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}} \le \frac{a}{{4ab + 2ac}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{{2b + c}}\end{array}\)

Áp dụng Cauchy – Schwarz ta có: \(\frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{b + b + c}} \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{1}{{2b + c}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{2}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{b}{{3{b^2} + 2{c^2} + {a^2}}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{2}{c} + \frac{1}{a}} \right);\,\,\,\,\,\frac{c}{{3{c^2} + 2{a^2} + {b^2}}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b}} \right)\)

Suy ra \(T \le \frac{1}{6}.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \le \frac{1}{6}.3 \Rightarrow T \le \frac{1}{2}\).

Vậy GTLN của \(T\) là \[\frac{1}{2}\], dấuxảy ra khi \(a = b = c = 1\).