Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c \ge 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có: \(a + b + c \ge 6\).

        \(M = \frac{1}{6}\left( {19a + 22b + 25c} \right) + 2\left( {\frac{5}{a} + \frac{6}{b} + \frac{7}{c}} \right) = \left( {\frac{{19}}{6}a + \frac{{10}}{a}} \right) + \left( {\frac{{22}}{6}b + \frac{{12}}{b}} \right) + \left( {\frac{{25}}{6}c + \frac{{14}}{c}} \right)\)

Xét \(k,m,n > 0:ka + \frac{{10}}{a} \ge 2\sqrt {10k} ;mb + \frac{{12}}{b} \ge 2\sqrt {12m} ;nc + \frac{{14}}{c} \ge 2\sqrt {14n} \)

\(a = 2 \Rightarrow 2k + 5 \ge 2\sqrt {10k} \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow ka = \frac{{10}}{a} \Rightarrow 2k = 5 \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}\).

Tương tự ta tìm được: \(m = 3,n = \frac{7}{2}\).

Do đó: \(M = \left( {\frac{5}{2}a + \frac{{10}}{a}} \right) + \left( {3b + \frac{{12}}{b}} \right) + \left( {\frac{7}{2}c + \frac{{14}}{c}} \right) + \frac{2}{3}a + \frac{2}{3}b + \frac{2}{3}c\)

\( \Rightarrow M \ge 2\sqrt {25}  + 2\sqrt {36}  + 2\sqrt {49}  + \frac{2}{3} \cdot 6 = 40\).

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 2\).

Vậy \({M_{Min}} = 40\) khi \(a = b = c = 2\).