Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 6a + 3b + 2c = abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giả thiết của bài toán được viết lại thành 6bc+3ca+2ab=1.

Đặt a=1x,b=2y,c=3z , khi đó ta được xy+yz+zx=1

Biểu thức B được viết lại thành B=xx2+1+yy2+1+zz2+1

Để ý đến giả thiết xy+yz+zx=1ta có : x2+1=x2+xy+yz+zx=x+yz+x

Khi đó ta được : xx2+1=xx+yx+z. Hoàn toàn tương tự ta được :

Q=xx+yx+z+yx+yy+z+zz+xy+z

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được:

xx+yz+x≤12xx+y+xz+x

yx+yz+x≤12yx+y+yy+zzx+zy+z≤12zz+x+zy+z

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

Q=xx+yx+z+yx+yy+z+zz+xy+z≤32

Vậy Max  Q=32⇔a=3,b=23,c=33