Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=2025. Tìm giá trị lớn nhất của P

Ta có: \({a^2} - ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + ab \ge ab \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }}\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {bc} }}\,\,\,\left( 2 \right);\,\,\frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: \(P \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\,\,\left( 4 \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \right) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2025\,\,\left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) suy ra \(P \le 2025.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{{675}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là \(2025\) khi \(a = b = c = \frac{1}{{675}}\).