Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a^2/(a-1)+2b^2/(b-1)+3c^2/(c-1) .

Xét biểu thức  mx2x−1 với x > 1.

mx2x−1=m(x2x−1−2+2)

=m(x2−2x+2x−1+2)

=m(x2−2x+1+1x−1+2)

=m((x−1)2+1x−1+2)

=m(x−1−2+1x−1+4)

=m(x−12−2x−1  .  1x−1+1x−12)+4m

=m(x−1−1x−1)2+4m≥4m  ∀x>1

Dấu bằng xảy ra khi x−1=1x−1⇔x=2.

Áp dụng vào biểu thức P ta được:

P ≥ 4.1 + 4.2 + 4.3 = 4 + 8 + 12 = 24 khi a = b = c = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 24 khi và chỉ khi a = b = c = 2.