Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng \(0\). Chứng minh rằng:

Giả sử \(c = \min \left\{ {a,\,b,\,c} \right\}\). Khi đó :

\(\begin{array}{l}c \le a \Rightarrow {c^2} \le ac \Rightarrow {a^2} + {c^2} \le {a^2} + ac \le {\left( {a + \frac{c}{2}} \right)^2}\\c \le b \Rightarrow {c^2} \le bc \Rightarrow {b^2} + {c^2} \le {b^2} + bc \le {\left( {b + \frac{c}{2}} \right)^2}\\{a^2} + {b^2} \le {\left( {a + \frac{c}{2}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{c}{2}} \right)^2}\end{array}\)

\(VT\left( * \right) \ge \frac{1}{{{{\left( {a + \frac{c}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b + \frac{c}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + \frac{c}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + \frac{c}{2}} \right)}^2}}}\)

Đặt \(x = a + \frac{c}{2};\,y = b + \frac{c}{2}\). Khi đó \(x > 0,\,y > 0\) và \(x + y = a + b + c\).

Ta có \(VT\left( * \right) \ge \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \ge \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} + \frac{3}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} + \frac{3}{{2xy}}\\ = \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{3}{{2xy}} \ge \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 3.\frac{2}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{10}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = VP\left( * \right)\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = b\end{array} \right.\). Do vai trò của \(a,\,b,\,c\) bình đẳng nên dấu “=” của \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau.