Cho a , b , c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng

Ta có:

\(\sqrt {6a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  = \sqrt {6a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc}  \le \sqrt {6a + \frac{{{{\left( {3 - a} \right)}^2}}}{2}}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {3 + a} \right)}^2}}}{2}}  = \frac{{3 + a}}{{\sqrt 2 }}\)

Tương tự \(\sqrt {6b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{3 + b}}{{\sqrt 2 }};\,\,\sqrt {6c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{3 + c}}{{\sqrt 2 }}\)

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\(\sqrt {6a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {6b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {6c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le \frac{{3 + a}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{3 + b}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{3 + c}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a + b + c + 9}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 \)

Dấu xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 3\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 0\\c = 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}b = c = 0\\a = 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = c = 0\\b = 3\end{array} \right.\).