Cho a , b , c là các số khác 0 thỏa mãn: − a + 2 b + 2 c ≠ 0 ; 2 a − b + 2 c ≠ 0 ; 2 a + 2 b − c ≠ 0 và

Với \(a,b,c\) là các số khác 0 thỏa mãn \( - a + 2b + 2c \ne 0;\)\(2a - b + 2c \ne 0;\)\(2a + 2b - c \ne 0\), ta có:

\(\frac{a}{{ - a + 2b + 2c}} = \frac{b}{{2a - b + 2c}} = \frac{c}{{2a + 2b - c}}\)

\( \Rightarrow \frac{{ - a + 2b + 2c}}{a} = \frac{{2a - b + 2c}}{b} = \frac{{2a + 2b - c}}{c}\)

\( \Rightarrow \frac{{ - a + 2b + 2c}}{a} + 3 = \frac{{2a - b + 2c}}{b} + 3 = \frac{{2a + 2b - c}}{c} + 3\)

\( \Rightarrow \frac{{2a + 2b + 2c}}{a} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{b} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{c}\)

\( \Rightarrow \frac{{a + b + c}}{a} = \frac{{a + b + c}}{b} = \frac{{a + b + c}}{c}\) \[\left( 1 \right)\]

+) Nếu \(a + b + c \ne 0\), từ (1) suy ra \(a = b = c\)

Khi đó: \(P = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\)

\( = \left( {1 + \frac{a}{a}} \right)\left( {1 + \frac{c}{c}} \right)\left( {1 + \frac{b}{b}} \right)\)

\( = \left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right) = 8\)

+) Nếu \(a + b + c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - c\\b + c = - a\\a + c = - b\end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right)\)

\( = \frac{{a + b}}{a}.\frac{{c + a}}{c}.\frac{{b + c}}{b}\)

\( = \frac{{ - c}}{a}.\frac{{ - b}}{c}.\frac{{ - a}}{b} = - 1\)

Vậy \(P = \left\{ \begin{array}{l}8{\rm{ }}khi{\rm{ }}a + b + c \ne 0\\ - 1{\rm{ }}khi{\rm{ }}a + b + c = 0\end{array} \right.\)