Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1/a+1/b+1/c<=3

Ta chứng minh BĐT

(a+b+c)(1a+1b+1c)≥9(*)(*)<=>3+(ab+ba)+(bc+cb)+(ca+ac)≥9

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:

ab+ba≥2bc+cb≥2ca+ac≥2=>(*) đúng

 

=>9a+b+c≤1a+1b+1c≤3=>a+b+c≥3

Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có 1+b2≥2b

Ta có: a1+b2=a−ab21+b2≥a−ab22b=a−ab2(1)

 

Tương tự ta có: 

b1+c2≥b−bc2(2)c1+a2≥c−ca2(3)

 

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

a1+b2+b1+c2+c1+a2≥a+b+c−12(ab+bc+ca)=>a1+b2+b1+c2+c1+a2+12(ab+bc+ca)≥a+b+c≥3