Cho a, b, c là các số dương thỏa 1/ 1 + a + 1/ 1 + b + 1/ 1 + c = 2. Chứng minh rằng abc nhỏ hơn hoặc bằng 1/8

Ta có :

11+a+11+b+11+c=2⇒11+a=2−11+b−11+c=1−11+b+1−11+c⇒11+a=2−11+b−11+c=b1+b+c1+c

Áp dụng BĐT Co si ta có : 11+a=b1+b+c1+c≥2bc1+b1+c

Chứng minh tương tự : 11+b≥2ca1+c1+a,11+c≥2ab1+a1+b

Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên ta có :

11+a.11+b.11+c≥8a2b2c21+a21+b21+c2=8abc1+a1+b1+c⇔1≥8abc⇔abc≤18(dfcm)

Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi a=b=c11+a+11+b+11+c=2⇔a=b=c31+a=2⇔a=b=c=12