Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng:

Áp dụng công thức Heron ta có:S=pp−ap−bp−c

Nên     S2=pp−ap−bp−c                          (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

p−ap−bp−c≤p−a+p−b+p−c33

   ⇔p−ap−bp−c≤p327                               (2)

Từ (1) và (2) suy ra S2≤p427

Hay S≤p233=a+b+c2123

Mà (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

⇔ (a + b + c)² ≤ a² + b² + c² + (a² + b²) + (b² + c²) + (a² + c²)

⇔ (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Suy ra S≤3a2+b2+c2123

Do đó a2+b2+c2≥43S

Vậy a2+b2+c2≥43S