Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh a+2b+c lớn hơn hoặc bằng 4(1-a)(1-b)(1-c)

Từ giả thiết: a+b+c=1⇒1−a=b+c ;1−b=a+c ;1−c=a+b 

Suy ra a+2b+c≥41−a1−b1−c

⇔(a+b)+(b+c)≥4a+bb+cc+a 

Đặt x=a+b ; y=b+c ; z=c+a  x,y,z≥0 

Suy ra x+y+z=2,ta phải chứng minh x+y≥4xyz 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :  x+y+z=x+y+z≥2(x+y).z  suy ra 2≥2(x+y).z 

suy ra 1≥x+yz, do x+y≥0 suy ra x+y≥(x+y)2z  (1)

Mặt khác   x+y2≥4xy, do z≥0 suy x+y2z≥4xyz (2)

Từ (1) và (2) suy ra x+y≥4xyz suy ra bài toán được chứng minh.