Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Có \(a + b + c = 1\)\( \Rightarrow c = c\left( {a + b + c} \right) \Rightarrow c + ab = c\left( {a + b + c} \right) + ab = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM với hai số dương \(x,\,\,y\) ta có:  .

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {c + ab} }} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }} \le \frac{{\frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{c + b}}}}{2}\, \Rightarrow \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{{ab}}{2}\left( {\frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{c + b}}} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự:

\(\frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} \le \frac{{bc}}{2}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{b + a}}} \right)\,\,\left( 2 \right)\)         \(\frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{{ca}}{2}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{b + a}}} \right)\,\,\left( 3 \right)\)

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có:

\(P = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }}\)

Từ đó giá trị lớn nhất của \(P\) là  đạt được khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).