Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR: a^3/bc + b^3/ca c^3/ab lớn hơn hoặc bằng a^3 + b^3 +c^3
Giải thích
Ta có a5bc+b5ca+c5ab=a6abc+b6abc+c6abc =(a3)2abc+(b3)2abc+(b3)2abc
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
a5bc+b5ca+c5ab=(a3)2abc+(b3)2abc+(b3)2abc≥(a3+b3+c3)2abc+abc+abc =(a3+b3+c3)(a3+b3+c3)3abc
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a3,b3,c3 ta được:
a3+b3+c3≥3a3b3c33=3abc
Do đó:
a5bc+b5ca+c5ab≥(a3+b3+c3)(a3+b3+c3)3abc≥(a3+b3+c3)3abc3abc=a3+b3+c3(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c