Cho a,b,c là ba số thực dương a lớn hơn 1 thỏa mãn 2log a ( bc )

Phương pháp giải

-Áp dụng bất đẳng thức \({(x + y)^2} \ge 4xy\)
\({\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge 0\)Xét điêu kiện để dấu " \( = \) " xảy ra.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đảng thức \({(x + y)^2} \ge 4xy\), ta được:
\({\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge {b^4}{c^4} \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge 4{\rm{log}}a\left( {bc} \right)\)Do đó với \(\forall a > 1,b,c > 0\)
\({\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge {\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \)\( \Leftrightarrow {\rm{log}}_a^2\left( {bc} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge 0\)Dấu " \( = \) " xảy ra khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^3}{c^3} = \frac{{bc}}{4}}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {bc} \right) =  - 2}\\{{c^2} = 9}\\{a > 1}\\{b > 0}\\{c > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \sqrt 2 }\\{b = \frac{1}{6}}\\{c = 3}\end{array}} \right.\]

Khi đó \(T = a + 3b + 2c = \sqrt 2  + \frac{1}{2} + 6 \approx 7,91\).
Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

Đáp án cần chọn là: A