Cho a, b,c là ba số thực dương, a > 1 thỏa mãn

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

-Áp dụng bất đẳng thức \({(x + y)^2} \ge 4xy\)

\(\log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \ge {\left[ {{{\log }_a}(bc) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}} \ge 0\)

Xét điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức \({(x + y)^2} \ge 4xy\), ta được:

\({\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge {b^4}{c^4} \Rightarrow {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge 4\log a(bc)\)

Do đó với \(\forall a > 1,b,c > 0\)

\(\begin{array}{l}\log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \ge \log _a^2(bc) + 4{\log _a}(bc) + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \\ \Leftrightarrow \log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \frac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \ge {\left[ {{{\log }_a}(bc) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}} \ge 0\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^3}{c^3} = \frac{{bc}}{4}}\\{{{\log }_a}(bc) = - 2}\\{{c^2} = 9}\\{a > 1}\\{b > 0}\\{c > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \sqrt 2 }\\{b = \frac{1}{6}}\\{c = 3}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(T = a + 3b + 2c = \sqrt 2 + \frac{1}{2} + 6 \approx 7,91\).

Vậy giá trị của T gần 8 nhất.