Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a^2/b^2 + b^2/c^2 + c^2/a^2 lớn hơn bằng a/b + b/c + c/a
Giải thích
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
a2b2+b2c2+c2a212+12+12≥ab+bc+ca2
Suy ra:
a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca.13.ab+bc+ca (*)
Nhận xét rằng:
13.ab+bc+ca≥abcabc3=1ab+bc+ca≥ab+bc+ca
Suy ra
ab+bc+ca.13.ab+bc+ca≥ab+bc+ca
Từ đó (*) được biến đổi:
a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca
Dễ nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c