Cho \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\,,\,\,d\] là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn \({a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2}\). Chứng minh rằng \(a + b + c + d\) là hợp số.

Ta có: \(\left( {{a^2} + {c^2} + {b^2} + {d^2}} \right) - \left( {a + b + c + d} \right) = \left( {{a^2} - a} \right) + \left( {{b^2} - b} \right) + \left( {{c^2} - c} \right) + \left( {{d^2} - d} \right)\)

\( = a\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 1} \right) + d\left( {d - 1} \right)\)

Vì \(a\left( {a - 1} \right)\,;\,\,b\left( {b - 1} \right)\,;\,\,c\left( {c - 1} \right)\,;\,\,d\left( {d - 1} \right)\) đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Suy ra \(\left( {{a^2} + {c^2} + {b^2} + {d^2}} \right) - \left( {a + b + c + d} \right)\)chia hết cho 2. (1)

Mà \({a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2}\)nên \({a^2} + {c^2} + {b^2} + {d^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).

Suy ra \({a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2}\)chia hết cho 2.   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {a + b + c + d} \right)\) chia hết cho 2.

Mà \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\,,\,\,d\] là các số tự nhiên khác 0 nên \(\left( {a + b + c + d} \right)\) lớn hơn 2.

Vậy \(\left( {a + b + c + d} \right)\) có nhiều hơn hai ước nên là hợp số.