Cho Δ A B C các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại điểm O . Qua O kẻ đường thẳng song song với B C cắt A B tại M , cắt A C tại N . Cho B M = 4 c m , C N = 5 c m . Hỏ

Đáp án: 9

Vì \(O\) là giao điểm của hai tia phân giác \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CAB}\) (gt).

Suy ra, \(CO\) là phân giác của \(\widehat {ACB}\) (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {BCO}\) (tính chất tia phân giác của một góc)

\(BO\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\) suy ra \(\widehat {OBA} = \widehat {OBC}\) (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì \(MN\parallel BC\) (gt) nên \(\widehat {MOB} = \widehat {OBC}\) và \(\widehat {NOc} = \widehat {OCB}\) (so le trong).

Từ (1) và (4) suy ra \(\widehat {NOC} = \widehat {NCO}\).

Do đó, \(\Delta NOC\) cân tại \(N\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra \(NO = NC = 5\,\,{\rm{cm}}\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\widehat {MOB} = \widehat {MBO}\) nên \(\Delta MOB\) cân tại \(N\).

Suy ra \(MB = MO = 4\,\,{\rm{cm}}\).

Vậy \(MN = MO + ON = 5 + 4 = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).