Cho Δ A B C các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại điểm O . Qua O kẻ đường thẳng song song với B C cắt A B tại M , cắt A C tại N . Cho B M = 4 c m , C N = 5 c m .

18/20

Cho \(\Delta ABC\) các tia phân giác của góc \(B\) và \(A\) cắt nhau tại điểm \(O\). Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(M\), cắt \(AC\) tại \(N\). Cho \(BM = 4\,\,{\rm{cm, }}CN = 5\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Hỏi độ dài \(MN\) bằng bao nhiêu cm?

Giải thích

Đáp án: 9

Cho Δ A B C các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại điểm O . Qua O kẻ đường thẳng song song với B C cắt A B tại M , cắt A C tại N . Cho B M = 4 c m , C N = 5 c m . (ảnh 1)

Vì \(O\) là giao điểm của hai tia phân giác \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {CAB}\) (gt).

Suy ra, \(CO\) là phân giác của \(\widehat {ACB}\) (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {BCO}\) (tính chất tia phân giác của một góc)

\(BO\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\) suy ra \(\widehat {OBA} = \widehat {OBC}\) (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì \(MN\parallel BC\) (gt) nên \(\widehat {MOB} = \widehat {OBC}\) và \(\widehat {NOc} = \widehat {OCB}\) (so le trong).

Từ (1) và (4) suy ra \(\widehat {NOC} = \widehat {NCO}\).

Do đó, \(\Delta NOC\) cân tại \(N\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra \(NO = NC = 5\,\,{\rm{cm}}\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\widehat {MOB} = \widehat {MBO}\) nên \(\Delta MOB\) cân tại \(N\).

Suy ra \(MB = MO = 4\,\,{\rm{cm}}\).

Vậy \(MN = MO + ON = 5 + 4 = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).