Cho a/b + c + b/c + a + c/a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức (a^2)/(b + c) + (b^2)/(c + a) + (c^2)/a + b

15/15

Cho \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\)

Tính giá trị của biểu thức \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}}.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

Với \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) ta xét \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\) \(\left( 1 \right)\)

Do \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) nên \(a + b + c \ne 0.\)

Khi đó ta nhân hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(a + b + c\) thì được:

\(\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Hay \(\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Nên \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c\)

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)