Cho a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của: P=ab/ căn ab+2c + bc/ căn bc + 2a + ca / căn ca+2b

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

abab+2c=abab+a+b+cc=abab+ac+bc+c2=aba+cb+c≤12aba+c+abb+c

Tương tự ta cũng có:

bcbc+2a≤12bca+b+bca+c

 caca+2b≤12caa+b+cab+c

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

 P≤12ab+bca+c+bc+caa+b+ab+cab+c

=12ba+ca+c+ca+ba+b+ab+cb+c=12a+b+c=12⋅2=1.

Dấu “ = ” xảy ra khi  a=b=c=23.