Cho a, b, c > 0 và 1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) = 2. Tìm giá trị lớn nhất của abc.

\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} = 2\]

Nên \[\frac{1}{{a + 1}} = 1 - \frac{1}{{b + 1}} + 1 - \frac{1}{{c + 1}} = \frac{b}{{b + 1}} + \frac{c}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} \]

Tương tự ta có:

\[\frac{1}{{b + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ac}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}} ;\frac{1}{{c + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \]

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:

\[\frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} \ge 8\sqrt {\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}{{\left( {b + 1} \right)}^2}{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}} = 8 \cdot \frac{{abc}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\]

Nên 1 ≤ 8abc

Do đó \[abc \le \frac{1}{8}\]

Đẳng thức xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]

Vậy giá trị lớn nhất của abc là \[\frac{1}{8}\] khi \[a = b = c = \frac{1}{2}\]