Cho a, b, c > 0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. CMR: a^3b^3/c + b^3c^3/a + a^3c^3/b

BĐT trên tương đương với việc chứng minh a4b4+b4c4+a4c4≥3a2b2c2

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

a4b4+b4c4≥2a4b4.b4c4=2a2b4c2 (1)

b4c4+c4a4≥2b4c4.c4a4=2b2c4a2 (2)

c4a4+a4b4≥2c4a4.a4b4=2c2a4b2 (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

2a4b4+b4c4+a4c4≥2a2b4c2+b2c4a2+c2a4b2⇔a4b4+b4c4+a4c4≥a2b4c2+b2c4a2+c2a4b2

⇔a4b4+b4c4+a4c4≥a2b2c2a2+b2+c2=3a2b2c2 (*)

Chia 2 vế của (*) với abc > 0 ta suy ra:

a3b3c+b3c3a+a3c3b≥3abc (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.