Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Lời giải:

Ta có: a + b + c = 0

⇒ (a + b + c)³ = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab² + 3abc) + (3b²c + 3bc² + 3abc) + (3a²c + 3ac² + 3abc) – 3abc = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c) = 3abc

⇔ a³ + b³ + c³ + (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) = 3abc

Do a + b + c = 0 nên (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) = 0

Vậy a³ + b³ + c³ = 3abc