Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a^3 / a +2b +b^3/ b +2c +c^3 / c +2a lớn hơn hoặc bằng a^2 + b^2 +c^2/ 3

a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a=a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac

 ⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2                   (1)

Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM ta có a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac

⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac

⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)

⇔ 3(a² + b² + c²) ≥ 2ab + 2bc + 2ac + a² + b² + c²

⇔ 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²                                                              (2)

Từ (1) và (2) suy ra a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c > 0

Vậy với a, b, c > 0 thì a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23.