Cho a + b + c = 0. Chứng minh ( a-b /c + b -c / a + c- a/ b)
Cho \[a + b + c = 0.\] Chứng minh: \[\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right) = 9\] với \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\,;\,\,a \ne b\,;\,\,b \ne c\,;\,\,c \ne a.\)
Đặt \[\frac{{a - b{\rm{ }}}}{{{\rm{ }}c{\rm{ }}}} = x\,;\,\,\frac{{b - c}}{{{\rm{ }}a{\rm{ }}}} = y\,;\,\,\frac{{c - a}}{{{\rm{ }}b{\rm{ }}}} = z\,\,\left( {x,\,\,y,\,\,z \ne 0} \right)\]
Suy ra \[\frac{c}{{{\rm{ }}a - b{\rm{ }}}} = \frac{1}{x}\,;\,\,\frac{a}{{{\rm{ }}b - c{\rm{ }}}} = \frac{1}{y}\,;\,\,\frac{b}{{{\rm{ }}c - a{\rm{ }}}} = \frac{1}{z}.\]
Bài toán trở thành chứng minh: \[\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 9\]
Ta có \[\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \left( {\frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z}} \right)\] (2)
Ta lại có \[\frac{{y + z}}{x} = \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}} = \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}} \cdot \frac{c}{{a - b}}\]
\[ = \frac{{c\left( {a - b} \right)\left( {c - a - b} \right)}}{{ab\left( {a - b} \right)}} = \frac{{c\left( {c - a - b} \right)}}{{ab}} = \frac{{c\left[ {2c - \left( {a + b + c} \right)} \right]}}{{ab}} = \frac{{2{c^2}}}{{ab}}\] (3)
Tương tự, ta được: \[\frac{{x + z}}{y} = \frac{{2{a^2}}}{{bc}}\] (4)
\[\frac{{x + y}}{z} = \frac{{2{b^2}}}{{ac}}\] (5)
Thay (3), (4) và (5) vào (2) ta có
\[\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{{{\rm{ }}2{c^2}}}{{ab}} + \frac{{{\rm{ }}2{a^2}}}{{bc}} + \frac{{{\rm{ }}2{b^2}}}{{ac}} = 3 + \frac{{{\rm{ }}2}}{{abc}}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right).\]
Từ \[a + b + c = 0\] chứng minh được \[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\] (7)
Thay (7) vào (6) ta có \[\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = 3 + \frac{{{\rm{ }}2}}{{abc}} \cdot 3abc = 3 + 6 = 9.\]