Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức sau: M = a^3 + b^3 + 3ab ( a ^ + b^2 ) + 6a^2b^2 ( a + b ) .

Hướng dẫn giải

⦁ Ta có: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)\( = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\).

Mà \(a + b = 1\) nên \({a^3} + {b^3} + 3ab \cdot 1 = {1^3}\).

Suy ra \({a^3} + {b^3} = 1 - 3ab.\)

⦁ Ta có: \[{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]

Mà \(a + b = 1\) nên \[{a^2} + 2ab + {b^2} = {1^2}\]

Suy ra \({a^2} + {b^2} = 1 - 2ab.\)

Khi đó \(M = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\)

\( = 1 - 3ab + 3ab\left( {1 - 2ab} \right) + 6{a^2}{b^2} \cdot 1\)

\( = 1 - 3ab + 3ab - 6{a^2}{b^2} + 6{a^2}{b^2}\)\( = 1.\)

Vậy \(M = 1.\)