Cho a, b > 0 và đều khác 1 thỏa mãn ln a + ln(8b) = 2ln(a + 2b). Rút gọn biểu thức: P = log cơ số b của (2a) + log cơ số a^2 của (2b) − 1/(log cơ số 8 của b).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Với a, b là các số thực dương khác 1, ta có:

ln a + ln(8b) = 2ln(a + 2b)

⇔ ln(8ab) = ln(a + 2b)² ⇔ 8ab = (a + 2b)²

⇔ 8ab – (a + 2b)² = 0 ⇔ 8ab – (a² + 4ab + 4b²) = 0

⇔ 8ab – a² – 4ab – 4b² = 0 ⇔ – a² + 4ab – 4b² = 0

⇔ a² – 4ab + 4b² = 0 ⇔ (a – 2b)² = 0 ⇔ a – 2b = 0 ⇔ a = 2b.

Thay a = 2b vào P, khi đó:

P = log_b(2a) + \({\log _{\frac{a}{2}}}(2b)\) – \(\frac{1}{{{{\log }_8}b}}\) = log_b(4b) + log_b(2b) – log_b8 = \({\log _b}\left( {\frac{{4b \cdot 2b}}{8}} \right)\)

= \({\log _b}\frac{{8{b^2}}}{8}\) = log_bb² = 2log_bb = 2.

Vậy P = 2.