Cho A = 7 + 7^ 2 + 7^ 3 + . . . + 7^ 119 + 7 ^120 . Chứng minh rằng biểu thức A chia cho hết cho 57.
Giải thích
Ta có \(A = 7 + {7^2} + {7^3} + ... + {7^{119}} + {7^{120}}\)
\( = \left( {{7^1} + {7^2} + {7^3}} \right) + \left( {{7^4} + {7^5} + {7^6}} \right) + ... + \left( {{7^{118}} + {7^{119}} + {7^{120}}} \right)\)
\( = 7\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + {7^4}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + ... + {7^{118}}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right)\)
\( = 7\,\,.\,\,57 + {7^4}\,\,.\,\,57 + ... + {7^{118}}\,\,.\,\,57\)\( = 57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{118}}} \right)\).
Vì \(57\,\, \vdots \,\,57\) nên \(57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{118}}} \right)\,\, \vdots \,\,57\).
Vậy biểu thức \[A\] chia cho hết cho 57.