Cho A = 3 + 3^2 + 3^3+ ...+ 3^2024. Tìm số dư khi chia A cho 13.
Giải thích
Ta thấy biểu thức \[A\] có 2024 số hạng, nhóm 3 số hạng ta được số nhóm là:
\[2024:3 = 674\] (dư 2 số hạng)
Ta có \[A = 3 + {3^2} + {3^3} + \ldots . + {3^{2024}}\]
\[ = \;3 + {3^2} + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^6}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \ldots + {2^{2002}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\]
\[ = 12 + 13 \cdot \left( {{3^3} + {3^6} + ... + {2^{2022}}} \right)\].
Vì \(13\,\, \vdots \,\,13\) nên \[13 \cdot \left( {{3^3} + {3^6} + ... + {2^{2022}}} \right)\,\, \vdots \,\,13\].
Do đó \[A\] chia 13 dư 12.