Cho A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + . . . + 3^101 . Chứng minh biểu thức A chia hết cho 13.
Giải thích
Ta có \(A = \left( {1 + {3^1} + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right) + ... + \left( {{3^{99}} + {3^{100}} + {3^{101}}} \right)\)
\( = \left( {1 + {3^1} + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^{99}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)
\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right).\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{99}}} \right)\)
\( = 13.\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{99}}} \right)\).
Vì \(13\,\, \vdots \,\,13\) nên \(13\,\,.\,\,\left( {1 + {3^3} + ... + {3^{99}}} \right)\,\, \vdots \,\,13\).
Vậy biểu thức \[A\] chia hết cho 13.