Cho 8 số tự nhiên bất kì có 3 chữ số. Chứng minh rằng luôn tại 2 trong 8 số đó viết liền nhau tạo thành 1 số chia hết cho 7

Chia 1 số tự nhiên (trong 8 số đó) cho 7 ta thu được 1 số dư

⇒ Khi chia cả 8 số đó cho 7 ta sẽ thu được 8 số dư

Mà một phép chia cho 7 có thể dư 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

⇒ Có ít nhất 2 trong 8 số chia cho 7 thì cùng số dư

⇒ Hiệu 2 số đó chia hết cho 7

Gọi 2 số đó là abc¯ và def¯  (0 ≤ a, b , c, d, e, f ≤ 9; a, d khác 0)

Không mất tính tổng quát, giả sử abc¯> def¯

Ta có:

abcdef¯= 1000abc¯ + def¯

⇔ abcdef¯= 1001abc¯ – abc¯ + def¯

⇔ abcdef¯= 7 . 143 . abc¯ – abc¯−def¯

Vì 7 . 143 . abc¯ chia hết cho 7 và abc¯−def¯ chia hết cho 7 nên abcdef¯chia hết cho 7.

Vậy luôn tại 2 trong 8 số đó viết liền nhau tạo thành 1 số chia hết cho 7.