Cho 3 số x,y,z thoả mãn: x^2+y^2+z^2+2x−2y−4z+6=0. Tính giá trị biểu thức: M=(x+1)^2022+y^2023+(z−1)^2024.

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y - 4z + 6 = 0.\)

\({x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} - 4z + 4 = 0\)

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 0\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.\)

Thay \[x = - 1\,;\,\,y = 1\,;\,\,z = 2\] vào \[M\], ta được:

\(M = {\left( {x + 1} \right)^{2022}} + {y^{2023}} + {\left( {z - 1} \right)^{2024}}\)

\(M = {\left( { - 1 + 1} \right)^{2022}} + {1^{2023}} + {\left( {2 - 1} \right)^{2024}}\)

\(M = 1 + 1 = 2.\)

Vậy \(M = 2.\)