Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1/x^2+1/y^2+1/z^2=1

Ta có:

 P=1x(1z2+1y2)+1y(1z2+1x2)+1z(1x2+1y2)

Đặt: 1x=a;1y=b;1z=c thì a,b,c>0 và a²+b²+c²=1

P=ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2=a2a(1−a2)+b2b(1−b2)+c2c(1−c2)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

a21-a22=12.2a2(1−a2)(1−a2)≤122a2+1−a2+1−a23=427=>a(1−a2)≤233<=>a2a(1−a2)≥332a2(1)

Tương tự: b2b(1−b2)≥332b2(2);c2c(1−c2)≥332c2(3)

Từ (1); (2); (3) ta có P≥332(a2+b2+c2)=332

Đẳng thức xảy ra a=b=c=13hay x=y=z=3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 332