Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và AB. a) vecto BC = 1/2 vecto EF (ảnh 1)

a) Có E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB nên EF là đường trung bình của DABC.

Suy ra \(EF = \frac{1}{2}CB\) mà \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {CB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {EF} \).

b) Ta có \(AE = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2};AF = BF = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).

Có \({S_{BEF}} = \frac{1}{2}AE.BF = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\).

c) Dựng điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} \).

Dựng hình chữ nhật AMNF.

Ta có \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AN} } \right|\)\( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} a}}{2}\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF} \)\( = \left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)\( = - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AF} \)

\( = - \left| {\overrightarrow {AE} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 0^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AF} } \right|.\cos 0^\circ \)\( = - \frac{a}{2}.a. - a.\frac{a}{2}\)\( = - {a^2}\).

Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF} }}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right|.\left| {\overrightarrow {CF} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{ - {a^2}}}{{\frac{5}{4}{a^2}}} = - \frac{4}{5}\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Khi đó vecto AC + vecto CB bằng