Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số

42/50

Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số y=logax, y=logbx như hình vẽ. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x =k (k > 1). GọiS1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=logax, đường thẳng d và trục hoành; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=logbx, đường thẳng d và trục hoành. Biết , mệnh đề nào sau đây đúng?

y=logbx

a=b4

b=a4ln2

a=b4ln2

Giải thích

Theo giả thiết và công thức tích phân từng phần, ta có:

S1=∫1klogaxdx=∫1klnxlnadx=1lnaxlnx1k−∫1kx.1xdx=klnk−k−1lna.

S2=∫1klogbxdx=∫1klnxlnbdx=1lnbxlnx1k−∫1kx.1xdx=klnk−k−1lnb.

VậyS1=4S2⇔1lna=4lnb⇔lnb=lna4⇔b=a4 .