Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số
42/50
Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số y=logax, y=logbx như hình vẽ. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = k (k >1). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=logax, đường thẳng d và trục hoành; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=logbx, đường thẳng d và trục hoành. Biết S1=4S2, mệnh đề nào sau đây đúng?
b=a4
a=b4
b=a4ln2
a=b4ln2
Giải thích
Chọn A
Theo giả thiết và công thức tích phân từng phần, ta có:
S1=∫1klogaxdx=∫1klnxlnadx=1lnaxlnx1k−∫1kx.1xdx=klnk−k−1lnaS2=∫1klogbxdx=∫1klnxlnbdx=1lnbxlnx1k−∫1kx.1xdx=klnk−k−1lnb
Vậy S1=4S2⇔1lna=4lnb⇔lnb=lna4⇔b=a4.