Cho 2 hình cầu như hình vẽ. Biết rằng bán kính của hai hình cầu đều bằng 5, khoảng cách giữa tâm của hai hình cầu bằng 6.

Đáp án đúng là "312"

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ cho hình vẽ

Lời giải

Xét hai hình tròn có bán kính bằng 5, khoảng cách giữa hai tâm bằng 6. Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Hai đường tròn \(\left( {{O_1}\left( { - 3;0} \right),R = 5} \right)\) và \(\left( {{O_2}\left( {3;0} \right),R = 5} \right)\) có phương trình lần lượt là \({(x + 3)^2} + {y^2} = 25\) và \({(x - 3)^2} + {y^2} = 25\).

Phần chung của 2 hình cầu chính là phần chung của 2 hình tròn ở hình bên quay quanh trục Ox.

Do tính đối xứng nên ta sẽ lấy phần đường tròn tâm \({O_1}\) bên hình quay quanh trục Ox, sau đó nhân 2 sẽ ra thể tích phần cần tính.

Phương trình phần đường tròn tâm \({O_1}\) ở phía trên trục Ox:

\({(x + 3)^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow y = \sqrt {25 - {{(x + 3)}^2}} \)

Khi đó, thể tích phần chung của hai hình cầu là:

\({V_C} = 2.\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\sqrt {25 - {{(x + 3)}^2}} } \right)}^2}dx}  = 2\pi \int\limits_0^2 {\left( {25 - {{(x + 3)}^2}} \right)dx}  = \frac{{104}}{3}\pi \)

Do đó, \(a = 104,b = 3 \Rightarrow T = ab = 312\).