Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

Xét S² = 1.4−x2+1.4−y2+1.4−z22

≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22≤Bunhia12+12+124−x22+4−y22+4−z22=3.4+4+4−x2+y2+z2=3.12−6=18⇒S≤18=32

Vậy Max S =32 

Dấu bằng xảy khi 4−x21=4−y21=4−z21⇔x=y=z.

Mà x² + y² + z² = 6 nên x = y = z = 2.

Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x² ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x² ≥ 0 .

Tương tự ta có:1≥4−y23≥0, 1≥4−z23≥0 , .

Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì a≥a.

Ta có: S=34−x23+4−y23+4−z23

≥34−x23+4−y23+4−z23=312−x2+y2+z23=23

.

Vậy Min S = 23khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).